勉強法

極値をとるxの個数にからむ問題では可能性のあるxの値すべてで逆を調べる

極値をとるxの個数にからむ問題では可能性のあるxの値すべてで逆を調べる

『極値を持つこと』と『$f'(x)=0$が解を持つこと』は同値ではない



「$x=1$で極値$4$をとるとき$k$の値を求めよ」や「極値が$2$個ある$k$の範囲を求めよ」などの問題では何も考えずに$f'(x)=0$の解の個数を考えれば答えは簡単に出すことができますが、それだけでは入試や模試ではほとんど点はもらえません。

本当に多くの受験生が

『$f(x)$が$x=α$で極値をとる』⇔『$f'(α)=0$』

と勘違いしていますが、正しくは『$f(x)$が$x=α$で極値をとる』⇒『$f'(α)=0$』。

$f(x)=x^3$がいい反例。$f'(x)=3x^2$で$f'(0)=0$となりますが、グラフを描けば明らかですが$y=x^3$は極値を持ちません。

つまり$f'(x)=0$の解として出てきた$x$の値のときが、下の弁図のaのような点なのか、bのような点なのかを確かめる必要があります。

null

具体的な確かめ方は、極値をとる可能性のあるすべての場合について増減表を書くこと。具体的な問題で考えます。

可能性のある場合それぞれで増減表を書く


例題
関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$が、$x=1$で極大値$3$をとり、$x=3$で極小値をとるように定数$a,b,c$の値を定めよ。


この問題で言えば
\[f(1)=3,f'(1)=0,f'(3)=0\]
という条件から

$a=-6, b=9, c=-1$と出せますが、繰り返しますがこれで終わるとほとんど点はきません。実際にこのとき極値をとるのか調べるために増減表を書く必要があります。

\[f(x)=x^3-6x^2+9x-1\]

\[f'(x)=3x^2-12x+9 \
~~~~~~~~~~=3(x-1)(x-3)\]

よって増減表は

\begin{array}{c|ccccc}
x & \cdots & 1 & \cdots & 3 & \cdots \
\hline
f’(x) & + & 0 & – & 0 & + \
\hline
f(x) & \nearrow & 3 & \searrow & -1 & \nearrow
\end{array}

答案では増減表を書いておけば問題ありませんが、可能性のある$x$がいくつかあるときはそのすべてに対して増減表を書く必要があります。

理解してしまえばなんてことないようですが、逆を確かめること自体を忘れることが非常に多いです。

練習問題


問題




$f(x)=x^3-mx^2+(m+6)x+1$が$x=5$で極値をとるとき、定数$m$の値を求めよ。


解説



極値がらみの話が出てきたらとりあえず微分でした。

\[f'(x)=3x^2-2mx+(m+6)\]

$x=5$で極値をとるので、たしかに$x=5$での接線の傾きは$0$になってます。よって

$f'(5)=0$より
\[3・5^2-2m・5+(m+6)=0\]
\[∴m=9\]

ここで終わりにしてはいけないのが、今日のポイントでした。可能性のある場合すべてで増減表を書きます。

$m=9$のとき、
\[f(x)=x^3-9x^2+15x+1\]
\[f'(x)=3x^2-18x+15 \
~~~~~~~~~=3(x-1)(x-5)
\]

より、増減表は下のようになります。

\begin{array}{c|ccccc}
x & \cdots & 1 & \cdots & 5 & \cdots \
\hline
f’(x) & + & 0 & – & 0 & + \
\hline
f(x) & \nearrow & 8 & \searrow & -24 & \nearrow
\end{array}

よってたしかに$\underline{m=9}$のとき、$f(x)$は極値を持ち、適します。