勉強法

勘やセンスに頼らない整数問題の考え方①範囲を絞りこめ!(part 2)

勘やセンスに頼らない整数問題の考え方①範囲を絞りこめ!(part 2)

整数問題を雰囲気で解いていると、いつまでも足を引っ張られる



整数問題は、お決まりの解法が少ない(複数の解法を色々考えて試さなければいけない)ため、苦手とする受験生がとても多いです。

苦手意識のある受験生は、「整数問題は、数学的なセンス・勘に頼らないと解けない」と思い、対策を放棄しがち。結果なんとなく雰囲気で解いてしまい、整数問題が受験生にとってのアキレス腱であり続けます。

たしかに整数問題は、お決まりの解法こそありません。しかし、考え方・方針の立て方はある程度前もって定まっています。視点を体得すれば、解法の方針を立てるまでに要する時間を減らすことができます。

前回から引き続き、『範囲を絞りこめ!』を扱います。

整数問題で使える絞りこみの手法②離散性に注目




問題
$2x^2-3x+y-5=0$を満たす自然数$x,y$の組を全て求めよ。


$x,y$が整数でなければ、解は無限に存在しますが……整数の離散性を利用すると、うまく絞りこむことができます。

整数は1,2,3,...と、とびとびの値しかとりません。これを整数の離散性といいます。

整数は無限に存在します。しかし、ある一定範囲内で見たとき、その数は限られます。例えば、$1<x<3$を満たす実数$x$はたくさんありますが、整数$x$となると$2$しかありませんよね。

実は、前回の記事の例題でも離散性を利用しています。$\frac{x+y}{z}<2$で$\frac{x+y}{z}$は自然数だから$\frac{x+y}{z}=1$しかありえない、という部分です。読んでいて違和感がなかったと思いますが、実はとても強力な絞りこみの方法なのですね。

与式を変形して、$y=-2x^2+3x+5$。$y$は自然数だから、$y=-2x^2+3x+5>0$。

不等式$-2x^2+3x+5>0$を解くと、$-1<x<\frac{5}{2}$となります。($x$の必要条件)

(整数の離散性より)$-1<x<\frac{5}{2}$を満たす自然数$x$は$1,2$に限られます。

$x=1$のとき、$y=-2×1^2+3×1+5=0$となり、$y$が自然数という条件を満たしません。

$x=2$のとき、$y=-2×2^2+3×2+5=3$となり、$(x,y)=(2,3)$という解が見つかりました。

($x$の十分条件が担保されました)


解答
$(x,y)=(2,3)$


不等式を出現させて絞りこむと、以上のようにあっさり答が導き出せるのです。

練習問題


問題



$n>3$とする。$n$と$n+2$がともに素数であるとき、$n+1$が$6$の倍数であることを示せ。


解答



$n$と$n+2$は、ともに$3$より大きい素数だから、いずれも奇数。ゆえに、$n+1$は偶数。

また、$n$と$n+1$と$n+2$は連続する$3$整数だから(ここで離散性を活用します!気づきましたか?)、このうちのいずれか$1$つは$3$の倍数。

$n>3$であって、$n$と$n+2$は素数だから、いずれも$3$の倍数ではない。

ゆえに、$n+1$は$3$の倍数。

以上より、$n+1$は偶数かつ3の倍数だから、$n+1$は6の倍数。(証明終)

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