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センター数学1Aを最短で10点上げるための『整数の性質』の対策と出題5パターン

センター数学1Aを最短で10点上げるための『整数の性質』の対策と出題5パターン

選択問題を解くたびに変えていてはセンター数学で安定して高得点を取ることは絶対に不可能


ご存知の通り、センター数学1Aでは「場合の数と確率」「整数の性質」「図形の性質」の3題から2題を選択することになります。

意外と多いのが、マーク模試を受けるたびに選択問題を変えている人。

「その模試ごとに解きやすい問題を選んだ方が得点は期待できるじゃないか」と言うのでしょうが、その考え方をしている時点で得点の期待値はかなり低いですよ。

なぜならセンター数学で毎回満点近く取る人が最初から選択問題を決めて挑んでも、時間はかなりギリギリの戦いになるからです。まして80点を目指す人が...ということですね。

『整数の性質』はセンター数学出題5パターンを抑えてからマーク式を繰り返し解くだけ


そこで選択問題を決めることになりますが、文理問わずすべての受験生におすすめするのは『整数の性質』です。

何といっても出題パターンが少ないため、対策にかかる時間はセンター数学で出題されるすべての分野の中で圧倒的に少ないので。

具体的には以下の5パターンをマスターしておけばまず大失敗はありません。青チャート等でそれぞれ対応する例題を解いたら、マーク式の問題を解いて練習してください。

1.${\bf \it ax+by=c}$型の不定方程式とユークリッドの互除法


この不定方程式は2015年、2016年と2年連続で出題されていますから、確実に抑える必要があります。

下の問題は2016年度センター試験本試第4問(1)からの引用です。

不定方程式

\[
{\it ax}+{\it by}={\it c}
\]
を満たす整数解が1つでも見つかれば、引き算をして

\[
{\it a}({\it x}-{\it n})={\it b}({\it y}-{\it m})
\]
の形にし、$k$を用いて一般解を表すことができます。

ただその解1組が簡単に見つからない問題ではユークリッドの互除法を使うことで見つけられる、というやり方がありました。互除法は最大公約数の話でもあるので、絶対に抑える必要があります。

2.${\it axy+bx+cy+d=0}$型の不定方程式


例題としては以下のような問題ですね。



\[
{\it xy}+3{\it x}+7{\it y}+24=0
\]
の整数解をすべて求めよ。



この形の不定方程式は、左辺を因数分解して、

\[
({\it x}+{\it α})({\it y}+{\it β})={\it γ}
\]
の形を作ると、左辺は整数の積なので、その組み合わせが絞られるという問題。

少し複雑になると$xy$の係数が1ではないものがありますが、それもやり方覚えれば何が出ても解けます。

3.n進法


下の問題は2016年度センター試験本試第4問(2)からの引用です。

2016年度センター試験本試第4問

2進数→10進数、10進数→2進数の2通りの出題がありますが、どちらもそのやり方だけ覚えれば即戦力になります。まさに知っているか知らないかで分かれる問題です。

模試のたびに「なんだったっけ?」となってる人は今すぐ確認してください。次の模試で出たら絶対に得点できますから。

4.最大公約数と最小公倍数


下の問題は2015年度センター試験試行問題からの引用です。

センター試験試行問題

具体的な数字の最大公約数を求めるには素因数分解して、どちらにも共通している素因数の積が最大公約数、その最大公約数に共通していない素因数をすべて掛けたら最小公倍数です。

ここまでは殆どの人が理解できますが

『2整数$a,b$の最大公約数を$g$、最小公倍数を$l$とすると、互いに素な2整数$a’,b’$を使って
${\it a=ga'}
{\it b=gb'}
$と表すことができ、また

\[
{\it l=ga'b'}
\]
という関係がある』と言われるとつまずく人も?

まったく同じことを言葉で言っているか、数式を使って言っているかの違いなので、これらが同じだと思えない人は対策する必要がありますよ。

5.約数の個数と総和


下の問題は2015年度センター試験本試第5問(1)からの引用です。

公約数

自然数$N$が素因数分解して$N=a^p・b^q$で表せるなら、

正の約数の個数は$(p+1)(q+1)$個、

その総和は$(1+a+a^2+...+a^p)(1+b+b^2+...+b^q)$です。

これも$n$進法同様、知ってるか知らないかだけですね。

最新2017年センター整数の分析


まず(1)は下2桁に着目する4の倍数の性質でした。あえてセンター整数の考え方として紹介していませんでしたが、多くの人が知っていると思います。最悪$a$に0から9までの10通り代入すれば答えがわかってしまうのがセンター整数の魅力。

次に以下の第4問(2)について。

スクリーンショット 2017-04-18 7.46.44

(2)も9で割り切れるのは各桁の数字の合計が9になればいいという有名な話。4の方と合わせれば$b$と$c$は簡単に絞り込めます。

最後の方で$(6 \times n^2)$というよくわからない数式が出てきますが、結局は36で割った残りが平方数になるように選ぶだけ。

次に以下の第4問(3)について。

スクリーンショット 2017-04-18 7.46.56

(3)来ました、この記事で言っていたパターンです。しかも約数・倍数の話と2進法両方出して来ました。センター整数は本当に出題パターンが少なくて、問題作成は大変ですね。

最新2017年度の問題を見ても、この記事で紹介したパターンの重要性が伝わったことと思います。

5つのパターンを一度身につければセンター数学の問題を解くたびに定着していく


センター数学で時間が足りない原因を計算スピードと考える人は絶対に満点をとれないにも書いた通り、過去問やマーク式問題集を使った本格的なセンター対策を始めるのは高3の秋以降で十分です。

ただだからと言って今回示した5パターンを覚えるのも秋でいいという意味ではないですよ。

なぜなら今から覚えてしまえば、これから受けるマーク模試で「手も足も出ず無駄な時間を過ごすこと」を防げるからです。逆に覚えた解法を繰り返し使うことで応用法が模試のたびに身に付きますし、記憶も定着しやすいはず。

ですのでマーク模試の数学で伸び悩んでいる人は、今すぐ整数対策の期間を自分のスケジュール帳の中に作るようにしてください。